博士課程の集大成となる論文がようやく出たので、久々のHP更新＆宣伝です！
長距離相互作用スピン系のエネルギー拡散について、典型的な複数の系で同じスケーリングを示すことを、ゆらぐ流体力学とキュムラントクラスタリング定理(New!)を用いて、理論・数値的に示しました。指導教官の齊藤さんとの共著です。
https://arxiv.org/abs/2502.10139
【結果のまとめ】
相互作用が距離の冪r^{-α}で減衰する、示量的（α>D）な長距離相互作用系について、
・1次元長距離相互作用古典スピン系［横磁場Ising・XY・XYZモデル］のエネルギー拡散は、α=3/2を境に、通常拡散からLevy拡散へ転移する。
・D次元の場合、通常拡散となる十分条件は、α>D/2+1である。つまり、α>Dを満たす限りでは必ず通常拡散となる。
相互作用が2点間の距離の冪r^{-α}で減衰する長距離相互作用系は重力、プラズマ、磁気双極子、Lennard-Jonesポテンシャルなど、自然界に数多くあります。また近年は冷却原子系、Rydberg原子、イオントラップなどを用いて、長距離相互作用をもつ量子多体系が実現されるようになり、非常に注目されています。長距離相互作用系の平衡状態については、α<Dにおいて示量性が成立しなくなるなどが知られていますが、非平衡状態の性質はよく分かっていないことが多いです。特に、エネルギー輸送については、ばね系の数値計算、可解模型の結果のみで、スピン系では数値計算すらなく、いわんや、ミクロな理論は存在しませんでした。
そんな未踏の荒野でしたが、今回の論文では、典型的な複数の長距離スピン系で、示量性が成り立つ領域において、任意の次元での微視的な理論をクリアに構築しており、非常に重要な結果であると自負しています。
以下、主結果の詳細です。
長距離相互作用系では、異常な早い拡散が生じますが、非可積分なスピン系では、その異常性が、流体的な冪緩和ではなく、平衡カレント相関の発散によって生じることを見出しました。カレント相関の強度を調べることで、通常拡散が生じる十分条件を与えることができます。
ここで、長距離相互作用系のクラスタリング定理を結合キュムラントについて拡張した「キュムラントクラスタリング定理」を新たに証明し、多体相関についての上限を得る不等式を与えました。この定理を用いて、カレント相関の普遍的なバウンドを求め、α>3/2が通常拡散のための十分条件であることが示されます。
さらに、異常拡散を有効的に記述する長距離相互作用系のゆらぐ流体力学を、Zwanzigの射影演算子法を用いて導出しました。ゆらぐ流体方程式には非局所的な拡散の寄与があり、長距離性を反映しています。重要な物理量として、カレント相関は非局所的な拡散係数と結びつくことが分かりました。ここで、カレント相関の上限が最適であることを数値計算により確認し、ゆらぐ流体によってエネルギー拡散のスケーリングが正しく記述されていることを示しました。
ここまでの1次元系の議論を一般のD次元（D≧2）にも拡張したところ、カレント相関の時間積分が収束するという仮定のもとで、α>Dの示量的な領域においては、必ず通常拡散となることが分かりました。（クラスタリング定理がα<Dでも成り立てば、α>D/2+1が通常拡散の十分条件になります。）
この論文では主に古典系を扱っていますが、カレント相関の時間積分が収束するという仮定のもとで、量子系でも同様の結果が得られます。他にも、長距離のXXやXXZのスピン輸送についても同様の理論を構築できます。このように、広い系に適用できる理論的な枠組みになっていると期待しています。
今回、横磁場Ising・XY・XYZで同じ結果を与えており、長距離スピン系のエネルギー拡散のスケーリングは普遍的なのではないかと考えています。しかし、各々の証明は個別具体的なもので、背景により深い普遍的な物理があるのかどうかはまだ分かっていません。今後明らかにしていきたいところです。また、α<Dでのふるまいについても依然重要な未解決問題です。
以下、クラスタリング定理とゆらぐ流体力学についての補足的な解説です。
今回の結果で、個人的に重要だと思っているのは、情報伝播において重要なクラスタリング定理を輸送現象に適用したところです。クラスタリングとは、短距離相互作用系では、離れた2つの物理量の相関が距離について指数減衰する、という性質のことを指します。実験室で実験している時に、（重力などの長距離力を除けば、）遠い宇宙の影響は考えなくてもいいよね、という経験事実を数学的に厳密化したものです。クラスタリング定理は、ギャップのある量子系では、Lieb-Robinson限界から厳密に証明でき、長距離系にも拡張が可能です。また、この定理を用いて、低温環境での強いETH（固有状態熱化仮説）や、長距離相互作用系でのThermal Area Lawを厳密に証明できたりと、熱平衡化や相互情報量とも密接な関わりがあり、統計物理におけるもっとも深遠な定理の一つです。このように情報伝播において重要な役割を果たすクラスタリング定理ですが、今回新たに示したキュムラントについてのクラスタリング定理が、エネルギー輸送にも応用できることは、多体系の数理物理としても新しい示唆を与えていると思います。
さらには、ゆらぐ流体による有効理論も新しく非自明なものだと思っています。ゆらぐ流体力学は、格子系の熱伝導を記述する有効理論として近年注目されています。特に、低次元系での熱伝導率の発散（異常熱輸送）を説明する有効理論として、Spohnによる非線形ゆらぐ流体力学（Spohn, J. Stat. Phys. 2014）が提案され、KPZスケーリングを示すことからも様々な文脈で注目されています。非線形格子系におけるゆらぐ流体をミクロから導出するために、Zwanzigの射影演算子法を用いた理論が提案されていますが（Saito et al., Phys. Rev. Lett. 2021）、今回の理論はその手法を援用しています。（ミクロからのゆらぐ流体の厳密な導出は非常に困難なので、Markov化などの近似を用いています。）今回は、長距離相互作用系のゆらぐ流体を導出しており、スピン系なのでEulerカレントは存在せず、long-time tailもありませんが、長距離性を反映した非局所的な拡散係数が重要な役割を果たしています。 このゆらぐ流体記述が長距離相互作用系でも有効であることを示したのも重要なことだと思っています。
このテーマは、M1の夏、齊藤さんの「長距離相互作用系に流体力学はあるのか？」という問いかけ以来、ずっと考えて続けていたものです。4年越しにようやく、（スピン系でのゆらぐ流体については、）ひとつの解答を与えることができたと思っています。
修士はテーマが難しすぎて苦しい時期が続きましたが、その時のゆらぐ流体や異常熱輸送についての理解が今回の結果に繋がったと思うとちょっと感慨深いところもあります。
熱が入って長い解説になってしまいました。ここまで読んでくださってありがとうございます。論文の方も長い（約40ページ）ですが、できるだけ丁寧に書いたつもりですので、ぜひ読んでみてくださると嬉しいです。